Tutorat de MSI – Séance 2
Faculté de Pharmacie / Université Paris Cité
Années 2025-2026
Exercice 1 : Statistiques descriptives
On étudie la résistance à la traction (en MPa) d’un composite en fonction de la proportion (en %) du poids des fibres. Le tableau de données contient 30 observations. La commande summary(polyester) donne :
traction longueur contenu Min. :35.83 Min. : 6.300 Min. :13.10
1st Qu.:41.31 1st Qu.: 9.125 1st Qu.:17.88
| Median :43.09 Median :10.450 | Median :19.60 |
| Mean :43.26 Mean :10.287 | Mean :19.81 |
| 3rd Qu.:45.31 3rd Qu.:11.575 | 3rd Qu.:21.38 |
| Max. :50.60 Max. :13.300 | Max. :29.30 |
Questions
1. Donner les moyennes estimées de la traction, de la longueur des fibres et du pourcentagedu poids des fibres.
2. Par quelle valeur faut-il remplacer? dans la phrase : “25% des longueurs sont comprisesentre 10,45 cm et? cm”
3. Par quelle valeur faut-il remplacer? dans la phrase : “? % des tractions sont supérieuresà 41,31 MPa”
4. Quelles commandes R permettraient d’obtenir les estimations de la variance et de l’écarttype des tractions?
Exercice 2 : Tests d’hypothèses
On souhaite tester si la moyenne de la traction est différente selon que la longueur des fibres soit inférieure ou supérieure à 10 cm. On note µ< et µ> les moyennes théoriques pour les longueurs inférieures et supérieures à 10 cm.
Questions
1. Compléter le tableau VRAI/FAUX :
| VRAI | FAUX | |
| L’hypothèse H1 est µ< ̸= µ> Si p-value > α, on ne rejette pas H0 Le risque α est la probabilité de rejeter H1 à tort La puissance est la probabilité de rejeter H1 quand elle est vraie La fonction t.test peut être utilisée |
2. Décrire la zone de rejet (ZR) et la zone de non rejet (ZNR) pour un test bilatéral aurisque α = 5%.
Exercice 3 : Régression linéaire simple
On étudie la traction en fonction de la longueur des fibres avec le modèle M2. Sortie R :
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 34.4239 3.1092 11.072 9.71e-12 longueur 0.8593 0.2978 2.885 0.00744
R² = 0,2292, R² ajusté = 0,2017 n = 30, F-statistic = 8,326, p-value = 0,007442
Questions
1. Écrire explicitement le modèle M2.
2. Quelle est la taille de l’échantillon? Justifier.
3. L’association avec la longueur est-elle significative au risque α = 5%? Préciser hypothèses, statistique de test, p-value et conclusion.
4. De combien est modifiée la traction moyenne pour une augmentation de 5 cm de longueur?
5. Interpréter la valeur du R² ajusté (0,2017).
Exercice 4 : Régression multiple et transformation
On modélise la traction avec le modèle :
traction = a0 × longueura1 × contenua2 On rentre dans la commande la fonction suivante :
log(traction) = β0 + β1 log(longueur) + β2 log(contenu) + ε Sortie R :
Coefficients:
Estimate Std. Error (Intercept) 2.56138 0.20524 log(longueur) 0.13210 0.05255 log(contenu) 0.30171 0.06254
R² = 0,5606, = 0,05186, ddl = 27
Questions
1. Exprimer les coefficients a0,a1,a2 du modèle mécanistique :
2. Donner les estimations de a1 et a2.
3. Quelles variables sont significatives aux risques 5% et 1%?
4. Calculer l’estimation de la variance résiduelle σ2.
La commande suivante donne :
exp(predict(M3, newdata = data.frame(longueur=c(3,12), contenu=c(20,20))))
1 2
42.75 44.41
5. Expliquer ce calcul et interpréter les résultats.
